De las leyes de Kirchhoff; LKI y LKV en el dominio de la frecuencia:
(e12.01)
(e12.02)
y la ley de Ohm aplicada al elemento general paralelo (EGP) en el dominio de la frecuencia:
(e14.01)
se define y propone el concepto de tensión absoluta de nodo de igual forma que en el dominio del tiempo pero adaptada al dominio de la frecuencia:
(e14.02)
Sustituyendo la ecuación de tensión en el elemento k en función de las tensiones de nodos (e14.02) en la LKV (e12.02):
(e14.03)
anteriormente ya se demostró que al desarrollar la sumatoria los términos (k,n)[k,m] se anulan, por lo tanto la ecuación anterior es irrelevante para el análisis.
Ahora, sustituyendo la ecuación de relación tensión-corriente del EGP (e14.01) en la LKI (e12.01):
(e14.04)
en esta ecuación (e14.04) aparece la tensión del elemento Vl que a su vez está en función de las tensiones absolutas de nodos,
considerando esto, se toma la ecuación de la tensión Vk (e14.02) pero para la tensión Vl:
(e14.05)
es necesario modificar la ecuación anterior (e14.05) para evitar ambigüedades, por lo que se realiza un cambio de índice, se propone:
(e14.06)
ahora sí es posible sustituir la ecuación anterior (e14.06) en la ecuación ampliada de la LKI (e14.04), también, por comodidad los términos correspondientes a las fuentes de alimentación se separan y pasan al lado derecho:
(e14.07)
esta ecuación (e14.07) es la ecuación canónica del método de nodos, sin embargo para cuestiones prácticas se define una parte de ella como la admitancia de nodo en el dominio de la frecuencia:
(e14.08)
y sustituyendo la ecuación de admitancia de nodo (e14.08) en la ecuación canónica (e14.07):
(e14.09)
estas dos ecuaciones (e14.08) (e14.09) son las fundamentales para la aplicación práctica del método de nodos.
Antes de proceder a aplicar directamente las ecuaciones a un caso en particular, es necesario dar una revisión de los casos generales que se presentan en el momento de aplicarlas.
En primera instancia la ecuación de admitancia de nodos está definida para la relación del nodo n con el nodo m, donde n adquiere valores desde 1 hasta el número de nodos independientes NnI, así también m adquiere valores en ese intervalo.
Siendo así se llega el caso en que n = m, una situación similar se presenta para la admitancia de los elementos, en donde k = l .
Por lo tanto se presentan los siguientes casos generales:
n=m y k=l
n=m y k≠l
n≠m y k=l
n≠m y k≠l
Primer caso general: n=m y k=l
La condición de n=m implica que se trata de una admitancia propia de nodo, es decir de la relación de un nodo n con él mismo.
La condición de k=l implica que se trata de una admitancia propia del elemento, es decir que se está refiriendo a un elemento k sin considerar relaciones de acoplamientos magnéticos.
Las observaciones anteriores conllevan a representar el actual caso como se muestra en el siguiente diagrama:
(d14.01)
Aplicando las condiciones de n=m y k=l en la ecuación de admitancia de nodo (e14.08) se tiene:
(e14.10)
lo que es lo mismo:
(e14.11)
el término [k,m]2 implica que solamente es necesario que el elemento incida en el nodo para que esté presente en la ecuación siempre con signo positivo, esto es:
(e14.12)
En concreto, en las ecuaciones de admitancia propia de nodo se encontrarán todas las admitancias propias de los elementos que inciden en ella con valor positivo sin importar sentido de la incidencia.
Segundo caso general: n=m y k≠l
La condición de n=m implica que se trata de una admitancia propia de nodo, es decir de la relación de un nodo n con él mismo.
La condición de k≠l implica que se trata de una admitancia mutua de dos elementos, es decir que se está refiriendo al acoplamiento magnético de un elemento k con un elemento l.
Las observaciones anteriores conllevan a representar el actual caso como se muestra en el siguiente diagrama:
(d14.02)
Aplicando las condiciones de n=m y k≠l en la ecuación de admitancia de nodo (e14.08) se tiene:
(e14.13)
desarrollando la sumatoria se encuentran los términos de la admitancia mutua de los elementos k y l de la forma siguiente:
(e14.14)
considerando que ykl=ylk la ecuación anterior (e14.14) se reescribe:
(e14.15)
En concreto, en las ecuaciones de admitancia propia de nodo se encontrarán 2 veces todas las admitancias mutuas de los elementos que incidan en ella, siendo positivo o negativo dependiendo del producto de sus números de incidencia.
Tercer caso general: n≠m y k=l
La condición de n≠m implica que se trata de una admitancia mutua de nodo, es decir de la relación de un nodo n con otro nodo m.
La condición de k=l implica que se trata de una admitancia propia del elemento, es decir que se está refiriendo a un elemento k sin considerar relaciones de acoplamientos magnéticos.
Las observaciones anteriores conllevan a representar el actual caso como se muestra en el siguiente diagrama:
(d14.03)
Aplicando las condiciones de n≠m y k=l en la ecuación de admitancia de nodo (e14.08) se tiene:
(e14.16)
desarrollando la sumatoria se encuentran los términos de la admitancia propia del elemento k de la siguiente forma:
(e14.17)
En concreto, en las ecuaciones de admitancia mutua de nodo se encontrarán todas las admitancias propias de los elementos que incidan en los dos nodos, siendo positivo o negativo dependiendo del producto de sus números de incidencia.
Cuarto caso general: n≠m y k≠l
La condición de n≠m implica que se trata de una admitancia mutua de nodo, es decir de la relación de un nodo n con otro nodo m.
La condición de k≠l implica que se trata de una admitancia mutua de dos elementos, es decir que se está refiriendo al acoplamiento magnético de un elemento k con un elemento l.
Las observaciones anteriores conllevan a representar el actual caso como se muestra en los siguientes diagramas:
(d14.04)
(d14.05)
Aplicando las condiciones de n≠m y k≠l en la ecuación de admitancia de nodo (e14.08) se toma esta ecuación tal cual:
(e14.08)
es necesario revisar individualmente a detalle cada tipo de incidencia de los elementos en el presente caso.
De los dos diagramas anteriores (d14.04) (d14.05) se observa que:
en el primer diagrama (d14.04):
k solamente incide en n
l solamente incide en m
p incide en n y en m
al desarrollar la sumatoria de la ecuación de admitancia de nodo se encuentran los términos de la admitancia mutua de los elementos:
(e14.18)
en el segundo diagrama (d14.05):
k y l inciden en n y en m
al desarrollar la sumatoria de la ecuación de admitancia de nodo se encuentran los términos de la admitancia mutua de los elementos:
(e14.19)
se puede demostrar que la ecuación anterior (e14.18) es igual a:
(e14.20)
En concreto, en las ecuaciones de admitancia mutua de nodo se encontrarán todas las admitancias mutuas de los elementos que inciden en ellas, exclusivamente para cuando cada uno de los elementos incide en los dos nodos se encontrará dos veces el término correspondiente, los términos serán positivos o negativos dependiendo del producto de sus números de incidencia.