De las leyes de Kirchhoff; LKI y LKV en el dominio de la frecuencia:
(e12.01)
(e12.02)
y la ley de Ohm aplicada al elemento general serie (EGS) en el dominio de la frecuencia:
(e12.03)
se define y propone el concepto de corriente circulante de malla de igual forma que en el dominio del tiempo pero adaptada al dominio de la frecuencia:
(e12.04)
Sustituyendo la ecuación de corriente en el elemento k en función de las corrientes de mallas (e12.04) en la LKI (e12.01):
(e12.05)
anteriormente ya se demostró que al desarrollar la sumatoria los términos (k,n)[k,m] se anulan, por lo tanto la ecuación anterior es irrelevante para el análisis.
Ahora, sustituyendo la ecuación de relación tensión-corriente del EGS (e12.03) en la LKV (e12.02):
(e12.06)
en esta ecuación (e12.06) aparece la corriente del elemento Il que a su vez está en función de las corrientes circulantes de malla,
considerando esto, se toma la ecuación de la corriente Ik (e12.04) pero para la corriente Il:
(e12.07)
es necesario modificar la ecuación anterior (e12.07) para evitar ambigüedades, por lo que se realiza un cambio de índice, se propone:
(e12.08)
ahora sí es posible sustituir la ecuación anterior (e12.08) en la ecuación ampliada de la LKV (e12.06), también, por comodidad los términos correspondientes a las fuentes de alimentación se separan y pasan al lado derecho:
(e12.09)
esta ecuación (e12.09) es la ecuación canónica del método de mallas, sin embargo para cuestiones prácticas se define una parte de ella como la impedancia de malla en el dominio de la frecuencia:
(e12.10)
y sustituyendo la ecuación de impedancia de malla (e12.10) en la ecuación canónica (e12.09):
(e12.11)
estas dos ecuaciones (e12.10) (e12.11) son las fundamentales para la aplicación práctica del método de mallas.
Antes de proceder a aplicar directamente las ecuaciones a un caso en particular, es necesario dar una revisión de los casos generales que se presentan en el momento de aplicarlas.
En primera instancia la ecuación de impedancia de malla está definida para la relación de la malla m con la malla n, donde m adquiere valores desde 1 hasta el número de mallas independientes NmI, así también n adquiere valores en ese intervalo.
Siendo así se llega el caso en que m = n, una situación similar se presenta para la impedancia de los elementos, en donde k = l .
Por lo tanto se presentan los siguientes casos generales:
m=n y k=l
m=n y k≠l
m≠n y k=l
m≠n y k≠l
Primer caso general: m=n y k=l
La condición de m=n implica que se trata de una impedancia propia de malla, es decir de la relación de una malla m con ella misma.
La condición de k=l implica que se trata de una impedancia propia del elemento, es decir que se está refiriendo a un elemento k sin considerar relaciones de acoplamientos magnéticos.
Las observaciones anteriores conllevan a representar el actual caso como se muestra en el siguiente diagrama:
(d12.01)
Aplicando las condiciones de m=n y k=l en la ecuación de impedancia de malla (e12.10) se tiene:
(e12.12)
lo que es lo mismo:
(e12.13)
el término [k,m]2 implica que solamente es necesario que el elemento incida en la malla para que esté presente en la ecuación siempre con signo positivo, esto es:
(e12.14)
En concreto, en las ecuaciones de impedancia propia de malla se encontrarán todas las impedancias propias de los elementos que inciden en ella con valor positivo sin importar sentido de la incidencia.
Segundo caso general: m=n y k≠l
La condición de m=n implica que se trata de una impedancia propia de malla, es decir de la relación de una malla m con ella misma.
La condición de k≠l implica que se trata de una impedancia mutua de dos elementos, es decir que se está refiriendo al acoplamiento magnético de un elemento k con un elemento l.
Las observaciones anteriores conllevan a representar el actual caso como se muestra en el siguiente diagrama:
(d12.02)
Aplicando las condiciones de m=n y k≠l en la ecuación de impedancia de malla (e12.10) se tiene:
(e12.15)
desarrollando la sumatoria se encuentran los términos de la impedancia mutua de los elementos k y l de la forma siguiente:
(e12.16)
considerando que zkl=zlk la ecuación anterior (e12.16) se reescribe:
(e12.17)
En concreto, en las ecuaciones de impedancia propia de malla se encontrarán 2 veces todas las impedancias mutuas de los elementos que incidan en ella, siendo positivo o negativo dependiendo del producto de sus números de incidencia.
Tercer caso general: m≠n y k=l
La condición de m≠n implica que se trata de una impedancia mutua de malla, es decir de la relación de una malla m con otra malla n.
La condición de k=l implica que se trata de una impedancia propia del elemento, es decir que se está refiriendo a un elemento k sin considerar relaciones de acoplamientos magnéticos.
Las observaciones anteriores conllevan a representar el actual caso como se muestra en el siguiente diagrama:
(d12.03)
Aplicando las condiciones de m≠n y k=l en la ecuación de impedancia de malla (e12.10) se tiene:
(e12.18)
desarrollando la sumatoria se encuentran los términos de la impedancia propia del elemento k de la siguiente forma:
(e12.19)
En concreto, en las ecuaciones de impedancia mutua de malla se encontrarán todas las impedancias propias de los elementos que incidan en las dos mallas, siendo positivo o negativo dependiendo del producto de sus números de incidencia.
Cuarto caso general: m≠n y k≠l
La condición de m≠n implica que se trata de una impedancia mutua de malla, es decir de la relación de una malla m con otra malla n.
La condición de k≠l implica que se trata de una impedancia mutua de dos elementos, es decir que se está refiriendo al acoplamiento magnético de un elemento k con un elemento l.
Las observaciones anteriores conllevan a representar el actual caso como se muestra en los siguientes diagramas:
(d12.04)
(d12.05)
Aplicando las condiciones de m≠n y k≠l en la ecuación de impedancia de malla (e12.10) se toma esta ecuación tal cual:
(e12.10)
es necesario revisar individualmente a detalle cada tipo de incidencia de los elementos en el presente caso.
De los dos diagramas anteriores (d12.04) (d12.05) se observa que:
en el primer diagrama (d12.04):
k solamente incide en m
l solamente incide en n
p incide en m y en n
al desarrollar la sumatoria de la ecuación de impedancia de malla se encuentran los términos de la impedancia mutua de los elementos:
(e12.20)
en el segundo diagrama (d12.05):
k y l inciden en m y en n
al desarrollar la sumatoria de la ecuación de impedancia de malla se encuentran los términos de la impedancia mutua de los elementos:
(e12.21)
se puede demostrar que la ecuación anterior (e12.21) es igual a:
(e12.22)
En concreto, en las ecuaciones de impedancia mutua de malla se encontrarán todas las impedancias mutuas de los elementos que inciden en ellas, exclusivamente para cuando cada uno de los elementos incide en las dos mallas se encontrará dos veces el término correspondiente, los términos serán positivos o negativos dependiendo del producto de sus números de incidencia.