Análisis en el dominio del tiempo

Sistema de inductores con acoplamiento magnético

Acoplamiento magnético

Comercialmente y prácticamente es común en los circuitos eléctricos haber sistemas de bobinas con acoplamiento magnético, ya sea transformadores de línea, transformadores de acoplamiento, transformadores para aislamiento, filtros de ruido, etcétera.
Una representación de un sistema de inductores con acoplamiento magnético se representa en la siguiente dibujo (x08.01)
(i08.01)
En el dibujo se muestra dos inductores formado cada uno por una bobina enrollada en espiral en un núcleo de material magnético.
La fuente de tensión v₁ genera una corriente i₁ a través del inductor L₁, la corriente eléctrica que son cargas en movimiento generan un flujo magnético Φ, este flujo magnético a su vez provoca una corriente i₂ en el inductor L₂ resultando la presencia de la tensión v₂ en este caso la carga de una resistencia. Es importante observar que el flujo magnético Φ atraviesa tanto L₁ como L₂ .
En los diagramas eléctricos, los cuales son o tienden a ser completamente topológicos, no se muestra el flujo magnético, ni su trayectoria espacial, ni el sentido. Para indicar que hay acoplamiento magnético en dos inductores se traza una línea desde el centro de un símbolo al centro del otro símbolo tal y como se puede apreciar en el diagrama siguiente (d08.01)
(d08.01)
a las líneas trazadas se les llama líneas de acoplamiento. L₁₂ L₁₃ L₂₃ son cantidades físicas que prácticamente representan el nivel de acoplamiento.

Así, para un sistema de n inductores acoplados magnéticamente debe de haber una línea de acoplamiento representando a cada uno de los acoplamientos magnéticos de cada inductor involucrado, este caso se representa someramente en el siguiente diagrama (d08.02):
(d08.02)

Análisis de un sistema de inductores acoplados magnéticamente:

Considerando por simplicidad un sistema de inductores acoplados magnéticamente por dos inductores, los cuales tiene la referencia inductor 1 e inductor 2. También se restringe el análisis a que el flujo magnético circule a través de un medio homogéneo, isotrópico y lineal. Bajo estas condiciones el análisis se simplifica y se puede extender a un número de n inductores acoplados magnéticamente.

En las condiciones mencionadas, el flujo magnético total es la suma de de cada uno de los flujos generados de forma independiente. Esto es, para el flujo que atraviesa el inductor 1:
Φ₁ = Φ₁₁ + Φ₁₂ (e08.01)
donde:
Φ₁ es el flujo magnético total que atraviesa la bobina del inductor 1
Φ₁₁ es el flujo magnético que atraviesa la bobina 1 generado solamente por la corriente eléctrica del inductor 1 (i₁)
Φ₁₂ es el flujo magnético que atraviesa la bobina 1 generado solamente por la corriente eléctrica del inductor 2 (i₂)
así, también para el inductor 2 se cumple:
Φ₂ = Φ₂₂ + Φ₂₁ (e08.02)
donde:
Φ₂ es el flujo magnético total que atraviesa la bobina del inductor 2
Φ₂₂ es el flujo magnético que atraviesa la bobina 2 generado solamente por la corriente eléctrica del inductor 2 (i₂)
Φ₂₁ es el flujo magnético que atraviesa la bobina 2 generado solamente por la corriente eléctrica del inductor 1 (i₁)

Y también la relación del flujo magnético con la corriente eléctrica se simplifica mucho, en general:
(e08.03)
donde:
Φ es el flujo magnético que atraviesa la bobina
N número de vueltas (espiras) de la bobina
Rm reluctancia magnética

De lo anterior, al sustituir en la ecuación de suma de flujos magnéticos para el inductor 1 (e08.01) la relación de flujo-corriente dada por la ecuación anterior (e08.03):
(e08.04)
multiplicando la ecuación anterior (e08.04) por N₁ y derivando con respecto al tiempo:
(e08.05)
(e08.06)

De la definición de la inductancia en función de la derivada del flujo con respecto a la corriente (e07.22) junto con la ecuación de relación flujo-corriente (e08.03):
(e08.07)
esta ecuación en forma general define la inductancia paras las condiciones exclusivamente mencionadas en el presente análisis.
Al comparar detenidamente el resultado anterior (e08.07) con la ecuación resultante del análisis del estado del inductor 1 (e08.06) se propone lo siguiente:
(e08.08)
donde:
v₁ es la tensión resultante al aplicar la relación de tensión-corriente (e07.23) en el inductor 1, dado que el término de la izquierda de la ecuación del inductor 1 (e08.06) es su propia inductancia por la derivada de su propia corriente contra el tiempo.
L₁₁ es la inductancia propia dada por Rm₁₁, es importante observar que si i₂ es cero, entonces, L₁₁ es igual a L₁, es decir para un sistema de inductores con acoplamiento magnético los L_kk tendrán los valores de sus respectivos L_k en la condición de toda i_l igual a cero.
L₁₂ es la inductancia mutua dada por la reluctancia Rm₁₂, que formalmente definida es:
(e08.09)
es interesante apreciar que el numerador es el producto de los números de espiras de los inductores involucrados, esto es N₁ por N₂, en comparación a la inductancia propia que el numerador es solamente el número de espiras del propio inductor multiplicado por sí mismo N², además la reluctancia es la que se presenta a la corriente i₂ hacia el inductor 1.

Ahora, desarrollando todo lo anterior pero para el inductor 2 (e08.02) se obtiene:
(e08.10)
y con base a la definición de la inductancia mutua (e08.09) se escribe:
(e08.11)

Finalmente con las condiciones mencionadas y observando que espacialmente el recorrido de las líneas de campo magnético del acoplamiento entre los inductores es similar, se cumple que:
Rm₁₂ = Rm₂₁ (e08.12)
en consecuencia al observar y manipular las ecuaciones obtenidas de la definición de inductancia mutua (e08.09) (e08.11) llega a:
L₁₂ = L₂₁ (e08.13)
lo que de forma general se escribe:
L_kl = L_lk (e08.14)

Sistema de inductores acoplados magnéticamente; sistemas lineales
La ley de Faraday determina la tensión que se presenta en un inductor debido al cambio en el flujo magnético que atraviesa la bobina de dicho inductor, esto es:
(e08.15)
Extendiendo los resultados vistos para un sistema de n inductores con acoplamiento magnético se presenta la siguiente expresión:
(e08.16)
Aplicando la definición de inductancia mutua:
(e08.17)
(e08.18)
(e08.19)
Reescribiendo la ecuación de la tensión del inductor k (e08.16):
(e08.20)
Utilizando notación para series y en forma compacta la ecuación anterior (e08.20) se escribe:
(e08.21)
donde:
Nb es el número total de inductores con acoplamiento magnético (que en el presente análisis es Nb = n)
esta ecuación es de gran importancia en el análisis de circuitos eléctricos que contienen inductores con acoplamiento magnético ya que relaciona la corriente y tensión de los inductores con base en la inductancia propia y mutua.

Desarrollando la ecuación anterior para cada una de las tensiones correspondientes a cada inductor, da el siguiente sistema de ecuaciones:
(e08.22)
y al representar el sistema en notación de matrices:
(e08.23)
en forma compacta:
(e08.24)
esta ecuación es la representación explícita del sistema que inherentemente muestra la ecuación de relación tensión-corriente en un sistema de inductores con acoplamiento magnético (e08.21)

Ahora, lo que se pretende es resolver el sistema de ecuaciones anterior para las variables de corriente, para ello primero se despeja para el vector de la derivada de corriente, y esto da:
(e08.25)
Al aplicar cálculo integral:
(e08.26)
donde se define la matriz de invertancias como la matriz inversa de la matriz de inductancias:
(e08.27)
Siendo así, las corrientes de cada uno de los inductores acoplados magnéticamente se determina como:
(e08.28)
esta ecuación es la representación explícita del sistema de ecuaciones dado por cada una de las ecuaciones de corriente de cada inductor del sistema, volviendo a la forma de sumatoria cada una de estas ecuaciones se puede representar:
(e08.29)
Es importante notar que las matrices de inductancias e invertancias son cuadradas y si se cumple que L_kl = L_lk entonces las matrices son simétricas.

Sistema de inductores con acoplamiento magnético; Factor de Acoplamiento:

Un acoplamiento magnético ideal es aquel en que todo el flujo generado por la corriente de un inductor atraviesa las espiras del otro inductor. En la práctica esto es imposible, hay líneas de campo magnético que se desvían y por lo tanto no todo el flujo magnético que genera un inductor atraviesa al otro inductor, en consecuencia hay pérdidas de acoplamiento, estas pérdidas de acoplamiento se puede expresar en la desigualdad:
Φ₂₁ < Φ₁₁ (e08.30)
Φ₁₂ < Φ₂₂ (e08.31)
se define una constante de pérdida de acoplamiento, la cual se llama Factor de Acoplamiento K , este factor tiene el siguiente intervalo restrictivo:
0 ≤ K ≤ 1 (e08.32)
esto significa que:
si K = 0 no hay o existe acoplamiento entre los inductores involucrados.
si K = 1 el acoplamiento magnético es total o ideal.
siendo así, se reescribe las desigualdades de flujo magnético (e08.30) (e08.31) como:
Φ₂₁ = K Φ₁₁ (e08.33)
Φ₁₂ = K Φ₂₂ (e08.34)
multiplicando ambas ecuaciones se tiene:
K Φ₁₁ K Φ₂₂ = Φ₂₁ Φ₁₂ (e08.35)
Por otra parte de la definición de la inductancia en función de la derivada del flujo magnético con respecto a la corriente eléctrica (e07.22)
(e07.22)
al resolver para el flujo magnético Φ y asignarle el índice para el inductor k:
(e08.36)
donde Φ₀ es el flujo residual en el material, para el caso que nos atañe de momento este término es irrelevante, de hecho para un medio lineal como el aire este valor es cero. Siendo así, se escribe:
(e08.37)
determinando para cada término y sustituyendo la anterior ecuación (e08.37) en la ecuación de relación de flujos magnéticos con pérdidas (e08.35):
(e08.38)
Simplificando:
K² L₁₁ L₂₂ = L₂₁ L₁₂ (e08.39)
en los datos de fabricante y otros documentos rara vez aparecen L₁₁ y L₂₂ escritos como tal, en vez de ello, se da L₁ y L₂ bajo las condiciones de i_l = 0 , es decir, que bajo esas condiciones se toma L₁₁ = L₁ y L₂₂ = L₂ y como L₁₂ = L₂₁ , con todo ello se escribe:
(e08.40)
(e08.41)
en los inductores comerciales, es típico que los fabricantes en sus especificaciones o proporcionen el factor de acoplamiento o proporcionen la inductancia mutua, además de las inductancias propias, como así también las marcas de polaridad el cual es el siguiente tópico.

Sistema de inductores con acoplamiento magnético; Marcas de polaridad:

En el análisis de dos inductores con acoplamiento magnético, como en el caso de inicio de tema:
(i08.01)
se obtienen las ecuaciones del sistema que relacionan tensión-corriente con base en las inductancias (e08.08) (e08.10):
(e08.08)
(e08.10)
en estas ecuaciones no se ha considerado la ley de Lens, debido a que se omitió el sentido del campo magnético y por simplificación se aceptó:
Φ₁ = Φ₁₁ + Φ₁₂ (e08.01)
sin embargo en un momento dado la ecuación anterior puede llegar a ser:
Φ₁ = Φ₁₁ - Φ₁₂ (e08.42)
como se intuye, esto debido a un cambio exclusivo en el sentido del campo magnético de Φ₁₂ motivo de un cambio del sentido de la corriente i₂ que lo genera (en sí; ley de Lens), o es de notar que puede ser también que, un cambio exclusivo en el sentido de la corriente i₁ tiene el mismo efecto en el cambio de la ecuación inicial (e08.01) hacia la ecuación anterior (e08.42).

De otra manera, también se puede decir, que al aplicar la regla de la mano derecha (fundamentada en la ley de Lens) para el inductor 1 y para el inductor 2, se determina el sentido de cada uno de sus campos, y entonces:
Si los sentidos de los campos magnéticos son iguales entonces el flujo total será la adición de las magnitudes de cada uno de los flujos.
Si los sentidos de los campos magnéticos son diferentes entonces el flujo total será la diferencia de las magnitudes de cada uno de los flujos.

Afortunadamente en los tópicos de la teoría de circuitos eléctricos, no es necesario conocer el sentido del campo magnético, si no que, es suficiente con saber si los campos magnéticos están o no están en el mismo sentido. Al conocer esta información, sencillamente se modifica de forma casi directa las ecuaciones tensión-corriente del sistema (que en el presente análisis son las ecuaciones (e08.08) (e08.10)).

Con el anterior preámbulo se llega a dos situaciones por discernir:
La primera; determinar cuando los sentidos de las corrientes eléctricas causan que los flujos magnéticos se sumen o se resten.
La segunda; cómo introducir formalmente esta corrección en las ecuaciones tensión-corriente del sistema.

La primera se logra a través de una convención llamada Marcas de Polaridad. Las marcas de polaridad son cualquier señal, marca, signo, etiqueta, que señala solamente una de las dos terminales para cada inductor, como se puede apreciar en el diagrama siguiente:
(d08.03)
la convención estipula lo siguiente:
si las corrientes entran o salen a la vez en las marcas de polaridad; el flujo magnético se incrementa (suma).
si una corriente entra y la otra sale con referencia a su marca de polaridad; el flujo magnético se decrementa (resta).

La segunda se logra al definir la asignación de signo a la inductancia mutua, es decir:
si el flujo magnético se incrementa; la inductancia mutua es positiva.
si el flujo magnético se decrementa; la inductancia mutua es negativa.

Reanalizando todo lo anterior, se llega simplemente a:
si las corriente entran o salen a la vez en las marcas de polaridad; la inductancia mutua es positiva.
si una corriente entra y la otra sale con referencia a su marca de polaridad; la inductancia mutua es negativa.

Para los casos presentados en el diagrama anterior (d08.03) esto resulta en:
inductancia mutua positiva para el caso 1 y el caso 2.
inductancia mutua negativa para el caso 3 y el caso 4.

Es interesante notar que; con base a lo ya expuesto se sabe que la energía en un inductor se almacena en forma de campo magnético, así que, al incrementar el flujo magnético se incrementa la energía en el inductor, entonces, se puede decir que si la inductancia mutua es positiva se está incrementando la energía en el inductor, y viceversa, si la inductancia mutua es negativa se está extrayendo energía del inductor.

Víctor Alberto Salinas Reyes - Asesoría y Diseño Electrónico. http://vicsalinas.freehostia.com .