Análisis de circuitos eléctricos por el método de tensión absoluta de nodos

Método de nodos aplicado a circuitos eléctricos con resistores y fuentes independientes

En el caso de resistores la Ley de Ohm aplicada en términos de la conductancia para un elemento k de un circuito dado:
i_k = G_k * v_k (e06.01)
En el caso de los elementos activos con fundamento en lo expuesto anteriormente las corrientes son:
i_k = i_fck (e06.02)
i_k = i_ftk (e06.03)

LKI aplicada a cualquier nodo n de un circuito dado:
(e05.04)

LKV aplicada a cualquier malla m de un circuito dado:
(e05.05)

Para el desarrollo del método de nodos se propone un nuevo concepto; la caída de tensión absoluta de nodos.
La caída de tensión absoluta de nodo (o simplemente tensión de nodo) es una caída de tensión eléctrica (U) que se presenta entre un nodo determinado con respecto a un nodo de referencia.
Habrá una tensión de nodo por cada nodo independiente y cada una tendrá una referencia U_n.
Un elemento relevante tiene cada una de sus terminales conectada a un nodo en particular, por lo que para cada elemento trascenderán dos tensiones de nodos.
La tensión del elemento k está dada por la diferencia de tensión de los nodos en que incide. Esto es:
(e06.04)
donde (k,n) es el número de incidencia del nodo n en el elemento k .
Con fundamento en lo expuesto en los anteriores temas este número de incidencia puede tomar uno de tres valores.
0 si el elemento k no incide en el nodo n, o sea, el nodo n no está conectado al elemento k .
1 si la tensión de nodo U_n incide en la terminal y es el potencial absoluto mayor del elemento k .
-1 si la tensión de nodo U_n incide en la terminal y es el potencial absoluto menor del elemento k .

El siguiente ejemplo resulta de aplicar la ecuación de tensiones de nodos que inciden en un elemento:
(d06.01)
v_k = ... + (k,n)U_n + (k,m)U_m + ...
v_k = 0 + (+1)U_n + (-1)U_m + 0
v_k = U_n - U_m (e06.05)
se puede demostrar fácilmente que este es el único caso, así que la tensión de un elemento k siempre está dada por la diferencia de las tensiones de los nodos en los que incide.

Sustituyendo la ecuación de tensiones de nodos (e06.04) en la ecuación de LKV (e05.05):
(e06.06)
en esta ecuación aparecen términos (k,n)[k,m] que al desarrollar la serie siempre es cero, esto se demostró en el tema correspondiente al método de mallas. Por lo tanto al aplicar el método de nodos las ecuaciones correspondientes a la LKV son completamente irrelevantes, es decir, en este método las mallas no se toman en cuenta para el análisis.

Ahora, procediendo de la misma forma pero para la expresión que representa a la LKI (e05.04) sustituyendo en ella las ecuaciones de corrientes para los elementos de circuito (e06.01)(e06.02)(e06.03) lleva a:
(e06.07)
manipulando la ecuación para que los términos de los componentes pasivos y los términos de los componente activos se separen:
(e06.08)
la ecuación anterior nos relaciona las corrientes en el nodo n, observando, la tensión v_k depende de la suma de dos tensiones de nodos según la ecuación de la tensión del elemento k en función de las tensiones de nodo (e06.04), por ello para evitar ambigüedad se propone cambiar la referencia del nodo n por el del nodo m:
(e06.09)
y como consecuencia de sustituir la ecuación anterior (e06.09) en la ecuación de corrientes del nodo n (e06.08) resulta:
(e06.10)
finalmente al arreglar aplicando propiedades de series, se obtiene la ecuación canónica del método de nodos (considerando solamente resistores como elementos pasivos):
(e06.11)
Para efectos prácticos, una parte de la ecuación se define como la admitancia de nodo:
(e06.12)
así reescribiendo se obtiene:
(e06.13)
estas dos últimas ecuaciones son las que se aplican directamente en el método de nodos.

La ecuación de admitancia de nodo (e06.12) contiene los índices n y m, los cuales corresponden y representan cada uno de los nodos, estos índices toman valores que van desde 1 hasta el número de nodos independientes (NnI).
Para el caso que n = m la ecuación queda como:
(e06.14)
luego, entonces el número de incidencia al cuadrado determina que no importa el sentido asignado al elemento (G_k), este elemento será parte de la ecuación con signo positivo si y sólo si incide en el nodo n.

Para cuando n es diferente de m es importante observar lo siguiente; al aplicar este método es irrelevante el sentido del elemento en el resultado de la multiplicación de los números de incidencia (k,n) y (k,m) . Demostración; en el desarrollo del método de análisis, para un elemento k que incide en el nodo n y a su vez incide en el nodo m, habiendo asignado un sentido al elemento k; el producto de los números de incidencia (k,n) por (k,m) será siempre negativo al aplicar las reglas ya descritas. Aún si se cambia el sentido arbitrario asignado al elemento k en la multiplicación de los números de incidencia (k,n) y (k,m) los dos factores cambiarán de signo y el resultado seguirá siendo negativo.

Como ejemplo de ello, al analizar el siguiente caso:
(d06.01)
se observa que el productor de (k,n)(k,m) = (+1)(-1) = -1, o sea, es negativo. Si se cambiara el sentido del elemento k, el producto de (k,n)(k,m) = (-1)(+1) = -1, o sea, seguirá siendo negativo.

Ejemplo de aplicación del método de nodos

Tomando el circuito eléctrico (d04.01) del tema 4:
(d04.01)
Proponiendo las referencias como en el tema 4:
(d04.05)
al desarrollar la ecuación de admitancia de nodo para cada uno de los nodos (e06.12) propuestos:
Y₁₁ = G₁ + G₂ = 1/5 + 1/2 = 7/10 (e06.15)
Y₂₂ = G₂ + G₃ + G₄ = 1/2 + 1/3 + 1/5 = 31/30 (e06.16)
Y₃₃ = G₁ + G₃ = 1/5 + 1/3 = 8/15 (e06.17)
Y₁₂ = Y₂₁ = -G₂ = -1/2 (e06.18)
Y₁₃ = Y₃₁ = -G₁ = -1/5 (e06.19)
Y₂₃ = Y₃₂ = -G₃ = -1/3 (e06.20)
y al desarrollar las ecuaciones de nodos independientes (e06.13):
Y₁₁U₁ + Y₁₂U₂ + Y₁₃U₃ = i_ft5 (e06.21)
Y₂₁U₁ + Y₂₂U₂ + Y₂₃U₃ = 0 (e06.22)
Y₃₁U₁ + Y₃₂U₂ + Y₃₃U₃ = i_ft6 (e06.23)
en este sistema de ecuaciones se observa que los términos del lado derecho variables indefinidas; i_ft5 i_ft6 , pero también hay dos variables definidas que no se han considerado; v_ft5 v_ft6 , reflexionando sobre esta situación, se necesita aplicar la relación de la tensión de un elemento con las tensiones de nodo (e06.04).
v_ft5 = + U₁ - 0 = U₁ = 12 (e06.24)
v_ft6 = + U₃ - 0 = U₃ = 1,5 (e06.25)
así sustituyendo
(7/10)(12) + (-1/2)U₂ + (-1/5)(1,5) = i_ft5 (e06.26)
(-1/2)(12) + (31/30)U₂ + (-1/3)(1,5) = 0 (e06.27)
(-1/5)(12) + (-1/3)U₂ + (8/15)(1,5) = i_ft6 (e06.28)
y volviendo a arreglar
(-1)i_ft5 + (-1/2)U₂ + 0 = - 84/10 + 3/10 (e06.29)
0 + (31/30)U₂ + 0 = 6 + 3/6 (e06.30)
0 + (-1/3)U₂ + (-1)i_ft6 = 12/5 - 12/15 (e06.31)
expresando el sistema de ecuaciones en notación lineal:
(e06.32)
resolviendo el sistema asistido con Matlab:
a = [-1 -1/2 0; 0 31/30 0; 0 -1/3 -1]
v = [-81/10;13/2;8/5]
inv (a) * v
format rat

Los resultados son:
i_ft5 = 768/155 (e06.33)
U₂ = 195/31 (e06.34)
i_ft6 = -573/155 (e06.35)
aplicando la ecuación de relación de tensión del elemento con tensión de nodos (e06.04):
v₁ = U₁ - U₃ = 12 - 1,5 = 21/2 (e06.36)
v₂ = U₁ - U₂ = 12 - 195/31 = 177/31 (e06.37)
v₃ = U₃ - U₂ = 1,5 - 195/31 = -297/62 (e06.38)
v₄ = U₂ = 195/31 (e06.39)
finalmente las corrientes de los resistores se obtienen aplicando la ley de Ohm (e06.01):
i₁ = G₁ * v₁ = 1/5 * 21/2 = 21/10 (e06.40)
i₂ = G₂ * v₂ = 1/2 * 177/31 = 177/62 (e06.41)
i₃ = G₃ * v₃ = 1/3 * -297/62 = -99/62 (e06.42)
i₄ = G₄ * v₄ = 1/5 * 195/31 = 39/31 (e06.43)
como era de esperarse, los resultados obtenidos al aplicar el método de mallas y el método de nodos son iguales, el número y complejidad de las operaciones realizadas para llegar a estos resultados en cada uno de los métodos varía, el criterio y la experiencia personal indicará cual de los dos métodos puede ser el más conveniente en el análisis de algún circuito en particular.

Víctor Alberto Salinas Reyes - Asesoría y Diseño Electrónico. http://vicsalinas.freehostia.com .