Análisis de circuitos eléctricos por el método de corriente circulante de malla

Método de mallas aplicado a circuitos eléctricos con resistores y fuentes independientes

En el caso de resistores la Ley de Ohm aplicada para un elemento k de un circuito dado:
v_k = R_k * i_k (e05.01)
En el caso de los elementos activos con fundamento en lo expuesto anteriormente las tensiones son:
v_k = -v_ftk (e05.02)
v_k = -v_fck (e05.03)

LKI aplicada a los nodos independientes de un circuito dado:
(e05.04)

LKV aplicada a las mallas independientes de un circuito dado:
(e05.05)

Para el desarrollo del método de mallas se propone un nuevo concepto; la corriente circulante de malla.
La corriente circulante de malla (o simplemente corriente de malla) es una intensidad de corriente eléctrica (J) que circula a través de los componentes que comprenden una malla.
Habrá una corriente circulante de malla por cada malla del circuito y cada una tendrá una referencia J_m.
En cada elemento del circuito podrá circular al mismo instante un número determinado de corrientes de malla.
Las corrientes de malla sumarán algebraicamente la corriente del elemento k . Esto es:
(e05.06)
donde [k,m] es el número de incidencia de la malla m en el elemento k .
Con fundamento en lo expuesto en los anteriores temas este número de incidencia puede tomar uno de tres valores.
0 si el elemento k no incide en la malla m, o sea, la corriente J_m no circula por el elemento k .
1 si la corriente de malla J_m incide y está en el mismo sentido que la corriente del elemento k .
-1 si la corriente de malla J_m incide y está en sentido contrario a la corriente del elemento k .

Los siguientes ejemplos resultan de aplicar la ecuación de corrientes de malla que inciden en un elemento:
(d05.01)
i_k = ... + [k,m]J_m + [k,n]J_n + ...
i_k = 0 + (+1)J_m + (+1)J_n + 0
i_k = J_m + J_n (e05.07)
(d05.02)
i_k = ... + [k,m]J_m + [k,n]J_n + ...
i_k = 0 + (-1)J_m + (+1)J_n + 0
i_k = -J_m + J_n (e05.08)

Sustituyendo la ecuación de corrientes de malla (e05.06) en la ecuación de LKI (e05.04):
(e05.09)
en esta ecuación aparecen términos (k,n)[k,m] que al desarrollar la serie siempre es cero y se demuestra a continuación:
Sean el elemento k y el elemento l componentes de un circuito eléctrico y que inciden en la malla m y en el nodo n.
si los dos elementos inciden en cualquier malla m a la vez.
si los dos elementos inciden en cualquier nodo n a la vez.
(d05.03)
entonces, al desarrollar los términos (k,n)[k,m] para cada elemento se tiene:
(k,n)[k,m] + (l,n)[l,m] = (-1)(+1) + (-1)(-1) = (-1) + (+1) = 0 (e05.10)
De igual manera para cualquier otro caso, al cambiar los sentidos de los elementos o el sentido de recorrido de la malla se puede demostrar de la misma forma que también resulta cero. Por lo tanto al aplicar el método de mallas las ecuaciones correspondientes a la LKI son completamente irrelevantes, es decir, en este método los nodos no se toman en cuenta para el análisis.

Ahora, procediendo de la misma forma pero para la expresión que representa a la LKV (e05.05) sustituyendo en ella las ecuaciones de tensión para los elementos de circuito (e05.01)(e05.02)(e05.03) lleva a:
(e05.11)
manipulando la ecuación para que los términos de los componentes pasivos y los términos de los componente activos se separen:
(e05.12)
la ecuación anterior nos relaciona las caídas de tensión en la malla m, observando, la corriente i_k depende de la suma de varias corrientes de malla según la ecuación de la corriente del elemento k en función de las corrientes de malla (e05.06), por ello para evitar ambigüedad se propone cambiar la referencia de la malla m por la de la malla n:
(e05.13)
y como consecuencia de sustituir la ecuación anterior (e05.13) en la ecuación de tensiones de la malla m (e05.12) resulta:
(e05.14)
finalmente al arreglar aplicando propiedades de series, se obtiene la ecuación canónica del método de mallas (considerando solamente resistores en como elementos pasivos):
(e05.15)
Para efectos prácticos, una parte de la ecuación se define como la impedancia de malla:
(e05.16)
así reescribiendo se obtiene:
(e05.17)
estas dos últimas ecuaciones (e05.16) (e05.17) son las que se aplican directamente en el método de mallas.

La ecuación de impedancia de malla (e05.16) contiene los índices m y n, los cuales corresponden y representan cada una de las mallas, estos índices toman valores que van desde 1 hasta el número de mallas independientes (NmI).
Para el caso que m = n la ecuación queda como:
(e05.18)
luego, entonces el número de incidencia al cuadrado determina que no importa el sentido asignado al elemento (R_k), este elemento será parte de la ecuación con signo positivo si y sólo si incide en la malla m.

Para cuando m es diferente de n es importante observar lo siguiente; al aplicar este método es irrelevante el sentido del elemento en el resultado de la multiplicación de los números de incidencia [k,m] y [k,n] . Demostración; en el desarrollo del método de análisis, para un elemento k que incide en la malla m y a su vez incide en la malla n, habiendo asignado un sentido al elemento k y asignado sentido a la malla m y malla n; el producto de los números de incidencia [k,m] por [k,n] será positivo o negativo al aplicar las reglas ya descritas. Pero si se cambia el sentido arbitrario asignado al elemento k en la multiplicación de los números de incidencia [k,m] y [k,n] los dos factores cambiarán de signo y el signo de resultado se mantendrá sin cambio.

Como ejemplo de ello, al analizar el siguiente caso particular:
(d05.01)
se observa que el productor de [k,m][k,n] = (+1)(+1) = +1, o sea, es positivo. Si se cambiara el sentido del elemento k, el producto de [k,m][k,n] = (-1)(-1) = +1, o sea, seguirá siendo positivo.

Ejemplo de aplicación del método de mallas

Tomando el circuito eléctrico (d04.01) del tema 4:
(d04.01)
Proponiendo las referencias como en el tema 4:
(d04.05)
al desarrollar la ecuación de impedancia de malla para cada una de las mallas (e05.16) propuestas:
Z₁₁ = R₁ + R₂ + R₃ = 5 + 2 + 3 = 10 (e05.19)
Z₂₂ = R₂ + R₄ = 2 + 5 = 7 (e05.20)
Z₃₃ = R₃ + R₄ = 3 + 5 = 8 (e05.21)
Z₁₂ = Z₂₁ = -R₂ = -2 (e05.22)
Z₁₃ = Z₃₁ = R₃ = 3 (e05.23)
Z₂₃ = Z₃₂ = R₄ = 5 (e05.24)
y al desarrollar las ecuaciones de mallas independientes (e05.17):
Z₁₁J₁ + Z₁₂J₂ + Z₁₃J₃ = 0 (e05.25)
Z₂₁J₁ + Z₂₂J₂ + Z₂₃J₃ = v_ft5 (e05.26)
Z₃₁J₁ + Z₃₂J₂ + Z₃₃J₃ = v_ft6 (e05.27)
expresando el sistema de ecuaciones en notación lineal:
(e05.28)
resolviendo el sistema asistido con Matlab:
a = [10 -2 3; -2 7 5; 3 5 8]
v = [0;12;1.5]
inv (a) * v
format rat

Los resultados son:
J₁ = 21/10 (e05.29)
J₂ = 768/155 (e05.30)
J₃ = -573/155 (e05.31)
aplicando la ecuación de relación de corriente del elemento con corrientes de malla (e05.06):
i₁ = J₁ = 21/10 (e05.32)
i₂ = -J₁ + J₂ = -21/10 + 768/155 = 177/62 (e05.33)
i₃ = J₁ + J₃ = 21/10 - 573/155 = -99/62 (e05.34)
i₄ = J₂ + J₃ = 768/155 - 573/155 = 39/31 (e05.35)
i_ft5 = J₂ = 768/155 (e05.36)
i_ft6 = J₃ = -573/155 (e05.37)
finalmente las tensiones de los resistores se obtienen aplicando la ley de Ohm (e05.01):
v₁ = R₁ * i₁ = 5 * 21/10 = 21/2 (e05.38)
v₂ = R₂ * i₂ = 2 * 177/62 = 177/31 (e05.39)
v₃ = R₃ * i₃ = 3 * -99/62 = -297/62 (e05.40)
v₄ = R₄ * i₄ = 5 * 39/31 = 195/31 (e05.41)
al resolver se observa que la corriente de malla J₃ es negativa, esto significa que el sentido de la corriente de malla es realmente al contrario al sentido propuesto en el análisis, así también, una reflexión es que la corriente en la fuente ft6 es negativa, en una situación práctica hay fuentes de tensión comerciales que no son lineales y no permitirían que una corriente negativa circulara a través de ellas, en el caso de baterías una corriente negativa en una batería no recargable la dañaría e incluso la puede hacer explotar, sin embargo una corriente negativa en una batería recargable la puede recargar.

Víctor Alberto Salinas Reyes - Asesoría y Diseño Electrónico. http://vicsalinas.freehostia.com .