Análisis de circuitos eléctricos con solamente fuentes independientes y resistores
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Análisis de circuitos eléctricos con solamente fuentes independientes y resistores
Una gran parte de las aplicaciones prácticas de la teoría de circuitos eléctricos convergen en que para un circuito dado es necesaria la determinación de una, algunas o todas las tensiones y/o corrientes para uno, alguno o todos los elementos de ese circuito. En ocasiones solamente es necesario un análisis parcial del circuito para obtener la solución para las variables de interés, sin embargo, y en muchos de los casos es más práctico resolver para todas las variables para poder determinar una sola de ellas. Determinar el número de variables implica saber también el número de ecuaciones independientes necesarias para resolver el sistema.
(d04.01)
Para el presente diagrama (d04.01) se observa que hay 6 componentes, de los cuales 4 son pasivos y 2 son activos, los pasivos son simplemente resistores y los activos son fuentes de tensión independientes, las magnitudes de cada elemento se indican en el mismo circuito. Las variables a determinar son las corrientes y tensiones para cada uno de los elementos del circuito, entonces, para los elementos pasivos hay que determinar tanto su corriente como su tensión, pero, para los elemento activos ya hay una variable determinada, así, solamente hay una variable indeterminada por cada fuente.
Aplicando las observaciones anteriores al diagrama (d04.01) se tiene que:
Para cada resistor hay que determinar una corriente y una tensión; vR1 , vR2 , vR3 , vR4 , iR1 , iR2 , iR3 , iR4 .
Para cada fuente de tensión hay que determinar solamente su corriente; ift1 , ift2 .
El número total de variables es 10, porque de los resistores son 4*2 variables más 2 variables de las fuentes, por lo tanto hay que obtener del circuito 10 ecuaciones independientes para poder representarlo en un sistema de ecuaciones lineales.
En general se puede escribir:
NeI = 2 * NeP + NeA 
(e04.01)
Donde
NeI número de ecuaciones independientes
NeP número de elementos pasivos
NeA número de elementos activos
Se puede decir que el fundamento total de la teoría de circuitos se basa en la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff, todo lo que continúa son métodos de análisis, de síntesis y teoremas derivados de estas leyes.
Aplicar la ley de Ohm en los resistores es sencillamente aplicar una regla de proporcionalidad, en el caso del capacitor y el inductor la relación de tensión - corriente es un poco más complicada. Por cuesntiones de simplificación, en el presente documento de momento se tratará con solamente resistores, después se extenderán los métodos para abarcar a todos estos componentes pasivos.
Para aplicar las leyes de Kirchhoff; LKV y LKI hay que proponer para cada elemento pasivo un sentido de corriente y caída de tensión, este sentido propuesto es completamente arbitrario, sin embargo, con un poco de experiencia o intuición o sentido común conviene proponer el sentido de forma tal que intente coincidir con el sentido de la corriente o tensión resultante en el elemento.
Como se analizó en el tema anterior, en el caso de los elementos activos como ya tienen polaridad no es necesario asignar un sentido, siguiendo la recomendación obtenida de la conclusión del tema anterior las corrientes de las fuentes de tensión se proponen saliendo por la terminal + .
Con respecto a los componentes:
Aplicando la ley de Ohm en cada uno de los componentes pasivos se obtienen 4 ecuaciones.
R1 = v1 / i1 (e04.02)
R2 = v2 / i2 (e04.03)
R3 = v3 / i3 (e04.04)
R4 = v4 / i4 (e04.05)
Con respecto a los nodos:
En el diagrama se observan 4 nodos a los cuales al aplicar la LKI se obtienen 4 ecuaciones.
(d04.02)
Nodo 1;
+ (+1)i1 + (+1)i2 + (-1)ift5 = 0 (e04.06)
Nodo 2;
+ (-1)i2 + (-1)i3 + (+1)i4 = 0 (e04.07)
Nodo 3;
+ (-1)i1 + (+1)i3 + (-1)ift6 = 0 (e04.08)
Nodo 4;
+ (-1)i 4+ (+1)ift5 + (+1)ift6 = 0 (e04.09)
Con respecto a las mallas:
En el diagrama se pueden proponer 7 mallas a las cuales al aplicar la LKV se obtienen 7 ecuaciones.
(d04.03)
(d04.04)
Malla 1;
+ (+1)v1 + (-1)v2 + (+1)v3 = 0 (e04.10)
Malla 2;
+ (+1)v2 + (+1)v4 + (-1)vft5 = 0 (e04.11)
Malla 3;
+ (+1)v3 + (+1)v4 + (-1)vft6 = 0 (e04.12)
Malla 4;
+ (-1)v1 + (+1)vft5 + (-1)vft6 = 0 (e04.13)
Malla 5;
+ (+1)v1 + (+1)v3 + (+1)v4 + (-1)vft5 = 0 (e04.14)
Malla 6;
+ (+1)v2 + (-1)v3 + (-1)vft5 + (+1)vft6 = 0 (e04.15)
Malla 7;
+ (+1)v1 + (-1)v2 + (-1)v4 + (+1)vft6 = 0 (e04.16)
Del circuito en cuestión en total se obtienen 15 ecuaciones, se ha determinado 10 variables. Reconsiderando, como solamente pueden haber 10 ecuaciones independientes entonces hay 5 ecuaciones que son dependientes. El objetivo siguiente es determinar cuales ecuaciones son independientes para ignorar las dependientes y así obtener un sistema lineal de ecuaciones independientes.
Empezando por analizar las ecuaciones que relacionan la corriente y la tensión en los elementos, se observa que son las únicas ecuaciones que relacionan la tensión con la corriente de cada elemento, es decir, relacionan las ecuaciones de mallas con nodos, pues, las ecuaciones de nodos solamente contienen variables de corriente y las ecuaciones de mallas solamente contienen variables de tensión, se puede demostrar que estas ecuaciones son independientes.
En las ecuaciones de nodos se puede demostrar que el número de ecuaciones independientes es igual al número total de nodos menos uno, esto es, en las ecuaciones de nodos si se escoge una ecuación (cualquiera) se encontrarán sus variables contenidas en las demás ecuaciones, por lo tanto hay que eliminar una (cualquiera) de las ecuaciones de nodos para dejar solamente las ecuaciones independientes necesarias, de hecho, al nodo de la ecuación eliminada se le llamará nodo de referencia, el presente ejemplo se escoge arbitrariamente y elimina la ecuación del nodo 4.
Se puede escribir:
NnI = Nn - 1 (e04.17)
NnI número de nodos independientes.
Nn número total de nodos.
De las ecuaciones de malla se puede observar a inspección visual que el número de ecuaciones de malla suficientes e independientes son aquellas en las que están implícitas todas las variables de tensión (en el presente caso son 6 variables), por observación se pueden encontrar 3 ecuaciones que cumplen, un conjunto de estas es el que contiene a las ecuaciones de las mallas 1, 2 y 3.
Por otro lado, la siguiente ecuación se puede deducir fácilmente:
NeI = NmI + NnI + NeP (e04.18)
Donde:
NeI número de ecuaciones independientes.
NmI número de mallas independientes.
NnI número de nodos independientes.
NeP número de elementos pasivos que es igual al número de ecuaciones de relación tensión - corriente.
Entonces, igualando la ecuación del número ecuaciones independientes necesarias (e04.01) y la ecuación anterior (e04.18):
2 * NeP + NeA = NmI + NnI + NeP (e04.19)
2 * NeP - NeP + NeA = NmI + NnI (e04.20)
NeP + NeA = NmI + NnI (e04.21)
Finalmente despejando NmI y considerando que el número total de elementos es igual a NeP + NeA
NmI = Ne - NnI (e04.22)
Aplicando la ecuación al presente ejercicio:
NmI = 6 - 3 = 3 (e04.23)
esto confirma el hecho de que hay 3 ecuaciones de malla y por simplicidad se han seleccionado las ecuaciones de las mallas 1, 2 y 3. Al momento de seleccionar las mallas, cualquiera que sea el conjunto, es muy importante asegurar que todos y cada uno de los elementos del circuito estén representados en las ecuaciones de mallas.
Por lo tanto, para el análisis del circuito se propone lo siguiente:
(d04.05)
Nodo 1;
+ (+1)i1 + (+1)i2 + (-1)ift5 = 0 (e04.24)
Nodo 2;
+ (-1)i2 + (-1)i3 + (+1)i4 = 0 (e04.25)
Nodo 3;
+ (-1)i1 + (+1)i3 + (-1)ift6 = 0 (e04.26)
Malla 1;
+ (+1)v1 + (-1)v2 + (+1)v3 = 0 (e04.27)
Malla 2;
+ (+1)v2 + (+1)v4 + (-1)vft5 = 0 (e04.28)
Malla 3;
+ (+1)v3 + (+1)v4 + (-1)vft6 = 0 (e04.29)
R1 = v1 / i1 (e04.30)
R2 = v2 / i2 (e04.31)
R3 = v3 / i3 (e04.32)
R4 = v4 / i4 (e04.33)
se debe considerar que:
vft5 = 12V (e04.34)
vft6 = 1,5V (e04.35)
Al resolver este sistema de ecuaciones se obtienen cada una de las tensiones y de las corrientes de todos los componentes del circuito. Como es un sistema de 10 ecuaciones independientes al aplicar alguno de los métodos de algebra lineal se obtiene una matriz de 10 * 10 que es algo laborioso de resolver. Afortunadamente existen métodos que facilitan la resolución de circuitos eléctricos, la ventaja de estos métodos radica en que para un circuito dado proveen de un sistema de ecuaciones con menor número de variables y por ende de ecuaciones independientes, logrando así simplificar la solución del sistema.