Para resolver cada una de las variables de tensión y corriente que se presentan en un determinado circuito eléctrico primero es necesario obtener el sistema de ecuaciones lineales que lo representa matemáticamente.
Para resolver cada una de las variables de tensión y corriente que se presentan en un determinado circuito eléctrico primero es necesario obtener el sistema de ecuaciones lineales que lo representa matemáticamente.
Definiciones fundamentales en topología de redes eléctricas.
Usando como ilustración la siguiente representación típica de un circuito eléctrico cualquiera:
(d03.01)
Definición de topología; es una disciplina matemática que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad, etcétera.
Definición de red eléctrica; es una interconexión de elementos de circuitos eléctricos.
Definición de nodo; es una terminal común a dos o más elementos de circuito.
Definición de malla; en una red eléctrica en toda trayectoria cerrada que tiene dos limitaciones; cualquier nodo que forme parte de una malla debe de ser común como máximo a dos elementos del circuito, y, al recorrer la malla en un sentido determinado no se recorrerá más de una vez cada elemento de la malla.
Las leyes de Kirchhoff son dos:
La ley de Kirchhoff de corrientes para un nodo (LKI).
La ley de Kirchhoff de tensiones para una malla (LKV).
Ley de Kirchhoff de corrientes para un nodo (LKI).
La ley de Kirchhoff para corrientes en un nodo establece que: La suma algebraica de las corrientes que inciden en un nodo es cero.
En un circuito eléctrico cualquiera, que contiene un nodo n y un elemento k cualesquiera:
(d03.02)
Con fundamento en lo anterior se puede expresar como modelo matemático de la LKI:
(e03.01)
Donde:
n es el número de referencia del nodo.
k es el número de referencia del elemento.
Ne es el número total de elementos en el circuito.
ik es la corriente eléctrica en el elemento k.
(k,n) es el número de incidencia del elemento k en el nodo n.
El número de incidencia para nodos se determina según se presente uno de tres casos:
(k,n) = +1 cuando el elemento k incide en el nodo n y la corriente ik sale del nodo n.
(d03.03)
(k,n) = -1 cuando el elemento k incide en el nodo n y la corriente ik entra al nodo n.
(d03.04)
(k,n) = 0 cuando el elemento k no incide en el nodo n.
(d03.05)
Ley de Kirchhoff de tensiones para una malla (LKV).
La ley de Kirchhoff para tensiones en una malla establece que: La suma algebraica de las caídas de tensión que inciden en una malla es cero.
En un circuito eléctrico cualquiera supóngase una malla m y un elemento k cualesquiera:
(d03.06)
Con fundamento en lo anterior se puede expresar como modelo matemático de la LKV:
(e03.02)
Donde:
m es el número de referencia de la malla.
k es el número de referencia del elemento.
Ne es el número total de elementos en el circuito.
vk es la caída de tensión eléctrica en el elemento k.
[k,m] es el número de incidencia del elemento k en la malla m.
El número de incidencia para mallas se determina según se presente uno de tres casos:
[k,m] = +1 cuando el elemento k incide en la malla m y la tensión vk tiene el mismo sentido de la malla m.
(d03.07)
[k,m] = -1 cuando el elemento k incide en la malla m y la tensión vk tiene sentido contrario al sentido de la malla m.
(d03.08)
[k,m] = 0 cuando el elemento k no incide en la malla m.
(d03.09)
Es suficiente con las leyes de Kirchhoff y las relaciones de tensión - corriente de cada elemento para obtener un sistema de ecuaciones lineales con un número de ecuaciones y variables tal que sea posible el análisis total del circuito, es decir, con lo presentado hasta el momento es posible obtener las ecuaciones para solución de cualquier circuito eléctrico que contenga los componentes aquí citados, sin embargo, debido al gran número de variables que se presentan comúnmente se haría un labor escabroso el organizar y resolver el sistema sino se tienen de los métodos adecuados. Estos métodos de solución son el principal interés en el presente trabajo.
La polaridad es la determinación característica de las terminales del elemento eléctrico dada por el sentido de corriente o caída de tensión de este. Los elementos pasivos carecen de polaridad, como consecuencia en una red eléctrica es irrelevante conmutar la conexión de sus terminales. Los elementos activos tienen polaridad, en el caso de las fuentes de tensión la polaridad determina el sentido de su caída de tensión y en el caso de las fuentes de corriente la polaridad determina el sentido de su corriente, en las fuentes de tensión a la terminal de mayor potencial se le asigna la terminal positiva y es señalada con el signo + , obviamente a la terminal de menor potencial eléctrico se le asigna la terminal negativa y es señalada con el signo - , en las fuentes de corriente se señala entre sus terminales con una flecha el sentido convencional de la corriente eléctrica. Se presenta un situación singular para la relación de sentido de caída de tensión y sentido de corriente en los elementos activos, esta situación se trata en análisis siguiente en el cual se aplican las leyes de Kirchhoff:
Para las fuentes de tensión
(d03.10)
en el diagrama se muestra una fuente de tensión a la cual solamente se le ha definido la polaridad de la tensión. Al aplicar las leyes de Kirchhoff:
para la malla; + (+1) VR + (-1) Vft = 0 entonces; VR = Vft
para el nodo; + (+1) IR + (+1) Ift = 0 entonces; IR = -Ift
este resultado parece dar incertidumbre con respecto al sentido de la corriente, ya que tal vez se pueda dudar en cual elemento el sentido de la corriente está invertido, esta situación se puede discernir de la siguiente manera:
En la fuente de tensión está definida la polaridad de la tensión, es decir, para este caso Vft es positiva.
Como VR = Vft la caída de tensión del resistor también es positiva.
Como el sentido de la caída de tensión y el sentido de la corriente está determinada inherentemente por la ley de Ohm, el sentido de la caída de tensión del resistor es el mismo que el sentido de la corriente en el mismo.
Como ya está definido el sentido de la corriente del resistor, entonces IR = -Ift significa que el sentido de la corriente en la fuente de tensión está invertido.
Con el fin de evitar confusiones se sugiere y se hace en el presente trabajo asignar el sentido de las corrientes de las fuentes de tensión de la terminal - a la terminal +, esto no causa ningún error en el análisis y mejor aún lo refuerza y lo simplifica.
Para las fuentes de corriente
(d03.11)
en el diagrama se muestra una fuente de corriente a la cual solamente se la definido la polaridad de la corriente. Al aplicar las leyes de Kirchhoff:
para el nodo; + (+1) IR + (-1) Ifc = 0 entonces; IR = Ifc
para la malla; + (+1) VR + (+1) Vfc = 0 entonces; VR = -Vfc
este resultado parecer dar incertidumbre con respecto al sentido de la caída de tensión, ya que tal vez se pueda dudar en cual elemento el sentido de la caída de tensión está invertido, esta situación se puede discernir de la siguiente manera:
En la fuente de corriente está definida la polaridad del sentido de la corriente, es decir, para este caso Ifc es positiva.
Como IR = Ifc la magnitud de la corriente también es positiva.
Como el sentido de la corriente y el sentido de la caída de tensión está determinada inherentemente por la ley de Ohm, el sentido de la corriente del resistor es el mismo que el sentido de la caída de tensión en el mismo.
Como ya está definido el sentido de la caída de tensión del resistor, entonces VR = -Vfc significa que el sentido de la caída de tensión en la fuente está invertido.
Con el fin de evitar confusiones se sugiere y se hace en el presente trabajo asignar el sentido de las caídas de tensión de las fuentes de corrientes desde la terminal salida de corriente a la terminal de entrada de corriente, esto no causa ningún error en el análisis y mejor aún lo refuerza y lo simplifica.